La relation est
donc valable pour x rationnel (quotient de deux entiers relatifs).
En fait si on prend un réel x, on pourra toujours trouver deux rationnels m et M tels que où m et M sont aussi proches de x qu’on le souhaite : par exemple
On peut alors définir un nombre y tel que avec et
puisque ln est continue monotone croissante.
On peut s’en sortir plus simplement en considérant que ln est continue monotone strictement croissante, qu’elle est « bijective » et
donc qu’il existe pour tout x > 0 un unique y tel que y=lnx ; réciproquement il existe un
seul x > 0 pour tout y réel tel que ,
fonction réciproque de ln.
Comme on a , on doit
avoir , ce qui donne
soit ainsi que