Révisions pour le bac …

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Correction jour 9

Exercice 1

Logique

40 ‘ 

5 points

difficile

a. Vrai : On prend la contraposée du 2. : si (Marc va à Rennes) ou (Alex va à Nantes) alors (Paul va à Brest). Si Marc va à Rennes la première partie de la phrase est vraie, pour qu’elle soit vraie, il faut que Paul aille à Brest.

Une implication  ne peut être fausse que dans un cas : lorsque p est vraie et q fausse (par contre elle est vraie lorsque p est faux et q vraie : mystères et joies de la logique mathématique…).

b. Vrai : D’après la remarque précédente, le cas où ça ne marche pas c’est si Alex va à Brest et Yves à Lorient, d’après 1. Marc va à Nantes, d’après 3. Bob va à Brest ou Paul à Lorient, villes déjà occupées. Ce cas étant impossible, c’est donc vrai.

c. Vrai : Si Marc va à Nantes et Bob à Rennes, Paul va à Lorient (3.), Yves à Vannes (4.) donc Alex va à Brest.

d. Faux : Supposons que Bob aille à Rennes et Marc à Nantes : si Alex va à Brest, Paul à Lorient et Yves à Vannes, les quatre affirmations sont vérifiées. Il y a donc au moins un cas où l’implication (Bob à Rennes)  (Marc pas à Nantes) est fausse.

e. Vrai : Si Paul va à Vannes, Bob à Nantes, alors Yves va à Lorient, et Alex à Rennes (sinon Alex irait à Brest, Marc à Rennes et la 1. serait fausse) donc Marc va à Brest.

C’est vraiment l’exercice prise de tête…

Exercice 2

Géométrie

30 ‘ 

4 points

moyen

(SMN) triangle isocèle de sommet S, de cercle inscrit de centre Ω et de rayon 1 ; Q, P, O les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN] ; OS=x. Rappelons que le centre du cercle inscrit est le point d’intersection des bissectrices. Figure :

a. Faux : Le rayon du cercle est  ; les triangles OMS et  sont semblables (même angle au sommet S et angles droits en O et Q) ; on a donc la similitude s :  ; on fait alors le rapport des côtés : , soit .

b. Vrai : Avec Pythagore dans  :

.

c. Vrai : Avec , on a .

On rappelle que le volume d’une section de cône est égale au tiers du volume de la section de cylindre correspondante (c’est à dire de même base et de même hauteur).

d. Vrai : Soit V le volume du cône engendré par rotation du triangle (SMN) autour de l’axe (SO). Le cône engendré par la rotation du triangle a pour base un cercle de rayon OM et pour hauteur OS ; on a donc le volume .

La dérivée de V est  qui s’annule pour 0 et 4. La fonction est décroissante de 2 à 4, croissante après ; le volume V est donc minimum pour x = 4. (Que se passe-t’il lorsque x = 2 ?).