Correction jour 7

Exercice 1

Intégration

50 ‘ 

4 pts

moyen

1. a. ,  : comme  sur ,  donc f existe et est continue sur  ; f a donc une primitive F et  existe sur .

b. Grâce au cours nous savons que .

c.  est l’aire, exprimée en unités d’aire,de f, l’axe (Ox) les droites  et .

2. a. Multiplions  par  au numérateur et au dénominateur :

.

b. On reconnaît dans  la dérivée de  ; il faut donc intégrer par parties en posant :

, , soit ,  ; par ailleurs  donc  :

.

c. La fonction  est strictement positive si  ;  donc  est croissante sur  d’où .

d. On intègre : , soit

,

d’où  et enfin .

Exercice 2

Suites et fonctions

90’ 

7 pts

moyen

Partie A : un modèle discret , .

1. a. , positive lorsque , donc f est croissante jusqu’à 10, décroissante après.

b. On a  et  donc  lorsque x  [0 ; 20].

c. Voir figure.

2.  donc .

Par ailleurs si , alors comme f est croissante, . Il reste à montrer que  est croissante : si .

3.  est croissante et majorée, elle converge vers le point d’intersection entre la courbe de f et la droite , soit 10.

Partie B : 1. a. Remplaçons dans (E) :  ;

. Ok.

2.  donc g croit…

3. En   tend vers 0 et g tend vers 10. Il y a saturation du marché qui ne peut dépasser plus de 10 millions de foyers équipés.

4. , donc en 2010.