Révisions pour le bac …

accueil révisions

Correction jour 6

Exercice 1

Complexes algèbre

30 ‘ 

4 points

facile

a. Vrai : Z2  6Z + 13 = 0 :  d’où 3+2i et 3  2i.

b. Faux : Les solutions de (1) ne peuvent être des complexes conjugués car les coefficients ne sont pas des réels.

On calcule les racines avec  donc

c. Vrai : Re(z1+z2) =  5 ;

d. Vrai : Im(z1+z2) =  ; 

e. Vrai : 2(z1  z2) = 3  2i ou   3+2i.

Exercice 2

Exponentielle

80 ‘ 

8 pts

moyen

I. x>0 :  donc f est croissante et , .

II. 1. a.  ;  ; .

b.  donc g’ décroissante et g’(0)=0 : .

c. g(0)=0 et g décroissante donc .

2. .  donc .

III. 1. et 2. On remplace X par  :  donc

,

d’où  et + 2 est asymptote de C en .

IV. 1. a. (T1) :  ;

b. t1= .

2. .

Exercice 2

Arithmétique

60 ‘ 

5 points

moyen

Partie A : Question de cours

Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances  sont  et  alors ,  et .

Propriété de compatibilité avec la multiplication :

on pose que ,  d’où .

Partie B

1. a. .

b. Il faut diviser par 12 plusieurs fois : , , donc

.

.

2. a. . Si le dernier chiffre est 0 modulo 3, soit un multiple de 3 le nombre sera divisible par 3.

b. N2 se termine par 3 en base 12, il est divisible par 3. En base 10 la somme des chiffres est 6, il est donc divisible par 3.

3. a. Chaque puissance de 12 est congrue à 1 modulo 11 donc . Si la somme des chiffres est un multiple de 11, ce nombre sera divisible par 11.

b. La somme des chiffres de N1 en base 12 est  donc N1 est divisible par 11. En base 10 on fait la somme des termes de rang pair moins la somme des termes de rang impair : 12−1=11 qui est divisible par 11.

4. . N est divisible par 33 si N est divisible par 3 : , et par 11 : .

On résoud :  ; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :

k

y

x

k

N

N (b. 10)

0

0

11k’−4

k’=1 soit x=7

 

1056

1

3

11k’−7

k’=1 soit x=4

 

627

2

6

11k’−10

k’=1 soit x=1

 

198

3

9

11k’−13

k’=2 soit x=9

 

1353