Correction jour 5

Exercice 1

QCM Espace

50 ‘ 

5 points

moyen

1. Réponse b : on pose ,  et , ce qui donne (en élevant au carré) :  et  :

soit une sphère de centre , de rayon .

2. Réponse c : Il faut que  soit colinéaire au vecteur normal de P, soit , on a donc en posant x, y et z les coordonnées de H : .

De plus H doit être sur P, on a alors  d’où en remplaçant, .

3. Réponse c : Il nous faut d’abord calculer la distance de B à P :  ; cette distance est supérieure à 1 donc la sphère de centre B de rayon 1 ne coupe pas P.

4. Réponse c : Écrivons les équations paramétriques de D :  ; le vecteur directeur de D’ est  qui n’est pas colinéaire à , elles ne sont pas parallèles.

On fait l’intersection : . C’est impossible.

5. Réponse b. : L’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B est le plan médiateur de [AB]. Le miliue de [AB] a pour coordonnées  ; ces coordonnées marchent dans les deux équations de plan, il faut donc regarder le vecteur  qui doit être colinéaire au vecteur normal d’un des plans :  qui est colinéaire à .

Exercice 2

Distances

50 ‘ 

5 points

facile

1. a. Un vecteur directeur de D est  : .

b. Il faut trouver t :  ; on a la même valeur de t pour les trois lignes donc B est bien sur la droite.

c. On peut appliquer la formule de la distance : , ou bien chercher cette distance : B est sur D, D coupe P en , soit en B’(1 ; 4 ; 2) ; la distance BB’ vaut .

d. Faites un schéma… A est sur le plan P, B est sur la droite D orthogonale à P, on utilise le théorème de Pythagore :

.

2. , soit

 ; le minimum de f est atteint lorsque , soit une distance minimale .