Révisions pour le bac …

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Correction jour 3

Exercice 1

Suite géométrique

30 ‘

4 points

facile

a. Faux : On a .

Attention au décalage de rang dû au fait que un commence à u1.

b. Vrai : On a . Donc la suite  est une suite arithmétique de raison  et de premier terme .

c. Faux : Pour tout , on a .

d. Faux : Pour tout , on a

.

Exercice 2

Suite récurrente

30 ‘

4 points

moyen

1.  qui est évidemment positif. un est croissante.

2. a. Par récurrence : , la propriété est vraie au rang 0. Au rang n + 1 il faut montrer que  ; or si , alors  qui est évidemment supérieur à . C’est fini.

b. Comme  et que  tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞, un tend clairement vers +∞.

3. On calcule les premières valeurs de un : . On voit apparaître la suite des carrés des entiers avec un décalage d’un cran par rapport à l’indice ; il s’agit donc de montrer que  : encore une récurrence.

 . C’est bon.

Exercice 3

Suite récurrente

50 ‘

5 points

facile

1. .

un est constante et vaut .

2. .

vn est une suite géométrique de raison  et de premier terme . On a donc .

3. On a .

Comme  tend vers 0 à l’infini, .

 

On vérifie avec le tableur par exemple :

n

an

bn

n

an

bn

0

2

3

7

2,4999936

2,5000064

1

2,4

2,6

8

2,49999872

2,50000128

2

2,48

2,52

9

2,49999974

2,50000026

3

2,496

2,504

10

2,49999995

2,50000005

4

2,4992

2,5008

11

2,49999999

2,50000001

5

2,49984

2,50016

12

2,5

2,5

6

2,499968

2,500032

13

2,5

2,5