Correction jour 1

Exercice 1

Exponentielle

30 ‘ 

4 points

moyen

a. Faux : .

b. Vrai :  donc la droite D d’équation  est asymptote à  en +∞ et elle est située au dessus de C car  >0.

c. Vrai : La fonction  est dérivable sur  ;

 soit  qui est toujours strictement négative car somme de deux termes strictement négatifs. Finalement  est décroissante sur .

d. Vrai : La fonction  est dérivable et strictement décroissante sur , f(0)=1 positif et f(1)=  donc négatif. f est donc bijective et il existe un unique réel  solution de l’équation .

Exercice 2

Logarithme

75 ‘ 

8 points

moyen

Partie A, rappel

1. a. .

b. .

Sur [0 ; +∞ [ 2x est négatif, x+1 est positif, donc g’ est du signe de 1  x.

x

0

1

+

0

−

0

1−ln2

2. a. Sur [1 ; +∞ [, la fonction g est définie, monotone strictement décroissante vers ]  ∞ ; 1ln2 ], elle est donc bijective sur cet intervalle et comme 1  ln2 est positif, 0 appartient à l’intervalle d’arrivée donc l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α  sur [ 1 ; +∞ [.

b. ;  donc comme 0 est entre g(1,9) et g(2), α est entre 1,9 et 2.

3. Lorsque  puisque croissante et g(0)=0 ;

lorsque   car g est décroissante ;

lorsque  car g est décroissante ;

Partie B

1. a. . La tangente T₀ a pour équation : .

      b.  .

.

2. a. .

Donc f ’(x) est du signe de g(x).

b. Nous savons que  donc  d’où  et .