Jour 7

Exercice 1

Intégration

50 ‘ 

4 pts

moyen

1. Soit f définie sur  par  et H définie sur  par .

a. Justifier que f et H sont bien définies sur .

b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  du plan.

Interpréter en termes d'aire Ie nombre .

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre .

a. Montrer que pour tout réel ,  .

b. En déduire que .

c. Montrer que si , alors .

d. En déduire un encadrement de , puis de .

Exercice 2

Suites

90’ 

7 pts

moyen

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l’année.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : un modèle discret

Soit  le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n.

On pose n = 0 en 2005,  et, pour tout n >0, .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par .

a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x  [0 ; 20],  [0 ; 10].

c. On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal. Représenter à l’aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite  sur l’axe des abscisses.

2. Montrer par récurrence que pour tout , .

3. Montrer que la suite  est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit  le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x.

On pose x = 0 en 2005,  et on estime que g est une fonction qui ne s’annule pas sur  et qui vérifie l’équation (E) :  où y’ est la dérivée de la fonction inconnue y.

1. Vérifier que la fonction g définie sur  par  est une solution de (E). On admettra que c’est la seule solution de cette équation..

2. Étudier les variations de g sur .

3. Calculer la limite de g en  et interpréter le résultat.

4. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?