Jour 6 Correction 8

Exercice 1

Complexes algèbre

30 ‘ 

4 points

facile

Ceci est un vrai-faux (sans calculatrice).

Dans , on considère l'équation (1) : .

Cette équation admet deux solutions complexes notées z₁ et z₂. On a :

a. Les solutions de l'équation Z²  6Z + 13 = 0 sont 3+2i et 3  2i.

b. Les solutions de (1) sont des complexes conjugués.

c. Re(z₁+z₂)= 5.

d. Im(z₁+z₂)= .

e. 2(z₁  z₂)=3  2i ou  3+2i.

Exercice 2

Exponentielle

60 ‘ 

5 pts

moyen

Voir correction 8

On considère la fonction f définie sur ]0 ;  [ par : .

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

I. Calculer la dérivée f ‘ de f sur ]0 ;  [ et donner le tableau de variation de f en précisant les limites de f en 0 et en .

II. On considère la fonction g définie sur [0 ;  [  par .

1. a. Déterminer g '(X)et g ''(X) pour tout .

b. Quel est le signe de g '(X) sur [0 ;  [ ? Justifier la réponse.

c. Quel est le signe de g(X) sur [0 ;  [ ? Justifier la réponse.

2. À l'aide des signes de g(X) et de g'(X), déterminer deux polynômes P₁ et P₂ tels que l'on ait pour tout , P₁(X)  P₂(X).

III. 1. En utilisant les résultats du II., déterminer les réels a, b, c, d et e qui vérifient pour tout x >0,

.

2. En déduire la limite de f(x)  x quand x tend vers . Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?

IV. Soit un réel . On appelle (T_α) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α et t_α l'abscisse du point d'intersection de (T_α) avec l'axe des abscisses.

1. a. Déterminer une équation de (T₁).

b. Calculer la valeur de t₁.

2. Donner l'expression de t_α en fonction de α.

Spécialité

Arithmétique

75 ‘ 

x points

difficile

Partie A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ?

Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

Partie B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, , , les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :  en base 10.

1. a. Soit N₁ le nombre s’écrivant en base 12 : . Déterminer l’écriture de N₁ en base 10.

b. Soit N₂ le nombre s’écrivant en base 10 : .

Déterminer l’écriture de N₂ en base 12.

Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 : .

2. a. Démontrer que . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N₂ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. a. Démontrer que . En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N₁ est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre N s’écrit . Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.