Jour 5

Exercice 1

QCM espace

50 ‘ 

5 points

moyen

L’espace est rapporté à un repère orthonormé . I est le point de coordonnées .

On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).

Le plan P admet pour équation cartésienne x +2y +2z = 5.

1. L’ensemble des points M de l’espace tels que  est :

      a. un plan de l’espace ;                               b. une sphère ;                    c. l’ensemble vide.

2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont :

      a.                               b.                       c. .

3. La sphère de centre B et de rayon 1 :

      a. coupe le plan P suivant un cercle ;                    b. est tangente au plan P ;               c. ne coupe pas le plan P.

4. On considère la droite D de l’espace passant par A et de vecteur directeur  et la droite D’ d’équations paramétriques . Les droites D et D’ sont :

      a. coplanaires et parallèles ;                     b. coplanaires et sécantes ;             c. non coplanaires.

5. L’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B est :

      a. la droite d’équations paramétriques ,

      b. le plan d’équation cartésienne 9x − y + 2z + 11 = 0,

      c. le plan d’équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0.

Exercice 2

Distances

50 ‘ 

5 points

facile

L’espace est rapporté à un repère , orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droite D de système d’équations paramétriques : .

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à la droite D et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D.

c. Calculer la distance d_B entre le point B et le plan P.

d. Exprimer la distance d en fonction de d_B et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d.

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM² en fonction de t. Retrouver alors la valeur de d.