Jour 3

Exercice 1

Suite géométrique

30 ‘ 

4 points

facile

Ceci est un vrai-faux (sans calculatrice).  Fesic 2000

Soit (u_n), n   une suite géométrique de raison  et de premier terme u₁ = 2. Pour tout entier , on pose v_n = ln (u_n).

a. Pour tout , on a : .

b. La suite (v_n) est arithmétique, de raison  ln(3).

c. Pour tout , on a .

d. Pour tout , on a .

Exercice 2

Suite récurrente

30 ‘ 

4 points

moyen

Récurrence 1, France 2004

On considère la suite (u_n) définie par  pour tout entier naturel n.

1. Etudier la monotonie de la suite (u_n).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, .

b. Quelle est la limite de la suite (u_n) ?

3. Conjecturer une expression de u_n en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

Exercice 3

Suite récurrente

30 ‘ 

4 points

facile

Soit a_n et b_n les suites définies pour tout n entier naturel par :  

1. Soit  la suite de terme général . Montrer que u_n est constante et calculer u_n.

2. Soit  la suite de terme général . Montrer que v_n est une suite géométrique. En déduire l’expression de v_n en fonction de n.

3. Exprimer a_n et b_n en fonction de u_n et v_n puis en fonction de n. Calculer  et .

4. Représenter le comportement des suites a_n et b_n à l’aide de vore calculatrice ou de GeoGebra. On pourra dessiner les points de coordonnées  per exemple.