Jour 1

Exercice 1

Exponentielle

30 ‘ 

4 points

moyen

Ceci est un vrai-faux (sans calculatrice). Fesic 1996

Soit  la fonction définie sur  par :  et C sa courbe représentative.

a. .

b. La droite D d’équation  est asymptote à C.

c.  est décroissante sur .

d. L’équation  a une unique solution sur .

Exercice 2

Logarithme

75 ‘ 

8 points

moyen

Geipi 2000

Partie A

On considère l'application g de [0 ; +∞ [ dans  définie par  où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. a. Déterminer la limite de g(x) quand x tend vers +∞.

b. Calculer la dérivée de g et donner le tableau de variation de g.

2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; +∞ [, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α .

b. Donner une valeur approchée de α à 10 ⁻¹ près et justifier la réponse.

3. Préciser le signe de g sur  ⁺.

Partie B

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par  et soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal .

1. a. Calculer . Déterminer une équation de la tangente T₀ à (C) au point d'abscisse 0.

b. Montrer que  et que .

2. a. Calculer f '(x) et donner une relation liant f ’(x) et g(x) pour x > 0 .

b. Soit α le réel défini à la question A. 2.a. Établir que .

c. Donner le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).